Applications bilinéaires, applications linéaires associées, espace dual, représentation matricielle, changement de base, orthogonalité, formes non dégénérées, definies, formes quadratiques, forme polaire, diagonalisation (Gauss), signature, plan artinien, plan projectif, division harmonique, coniques, poles et polaires, produits scalaires, espaces euclidiens, matrices orthogonales, endomorphisme adjoint, endomorphismes normaux, auto-adjoints et isométries, groupe orthogonal, théorèmes de Fregier et de Pascal.

Permutations, nombre d'inversions, signature d'une permutation, transpositions, espace dual, application transposée, base duale, rang de la transposée, mesure de volume (forme multilinéaire alternée), déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, mineur, cofacteur, développement par rapport aux lignes et aux colonnes, application au calcul du rang d'une matrice, formule de la comatrice, déterminant de Van der Monde.

Ce très court texte contient une démonstration élémentaire et aussi peu calculatoire que possible du théorème de Cayley-Hamilton.

Cours de logique catégorique donné en 2008-2009 dans le Master 2 ``Logique mathématique et Fondements de l'Informatique'' (279 pages). Ce cours introduit les notions essentielles de théorie des catégories (problèmes universels, classifiants, foncteurs adjoints, monades,...) et expose les bases de la théorie des topos élémentaires, en particulier le langage interne, la sémantique de Kripke-Joyal et les topos de préfaisceaux d'ensembles.

Ce texte, établi en collaboration avec l'un de mes étudiants, présente une démonstration élémentaire du fait que le principe du tiers exclu ne résulte pas des principes structurels (intuitionnistes) de démonstration. Il constitue une suite (en plus formel) au ``Topos des Shadoks'' qu'on trouvera sur cette même page.

Un exposé fait en mai 2008 sur le raisonnement par l'absurde. Sans entrer dans les détails techniques, on apprend en quoi consistent les mathématiques ``structurelles'' (également appelées ``intuitionnistes'') et ce qu'est le constructivisme. On explique la différence de comportement entre connecteurs additifs et connecteurs multiplicatifs. Enfin, on explore le principe de la double négation et du raisonnement par l'absurde et on distingue deux sortes de tels raisonnements dont l'une est constructive et l'autre pas.

Cette série de transparents introduit d'une manière ludique la notion de topos élémentaire de Lawvere-Tierney. La logique du topos présenté ici est ternaire. On explique pourquoi l'axiome du choix et le théorème de Cantor-Bernstein ne sont pas valides dans ce topos (signe que ces énoncés ne sont pas constructifs).

On axiomatise la structure de topos élémentaire sans la notion de monomorphisme. Dans la conclusion, on explique en quoi cette axiomatisation éclaire l'usage de certaines phrases dans le langage mathématique ordinaire. Ce texte constitue par ailleurs une introduction condensée à la structure de topos élémentaire et à la sémantique de Kripke-Joyal pour ceux qui connaissent déjà un peu les catégories.

Un exposé ``self-contained'' fait au séminaire ``Catégories et Physique'' en avril 2008, dans lequel les topos élémentaires sont présentés en utilisant la seule notion de classifiant d'un foncteur.

On axiomatise la notion d'ensemble des entiers naturels à l'aide du principe de récursion simple (inspiré par les travaux de W. Lawvere), on en déduit le principe de récursion primitive, et les axiomes de Peano (dont le principe usuel du raisonnement par récurrence). On développe l'arithmétique dans N, à partir de cette définition (addition, multiplication, division euclidienne,...). Application aux ensembles finis et aux cardinaux. On démontre aussi l'axiome des choix dépendants à partir de l'axiome général du choix, et du principe de récursion simple.

Dans cet exposé fait à Luminy en mai 2007, est essentiellement discutée la notion d'indiscernabilité des preuves. Des arguments sont donnés en faveur de ce principe, aussi bien provenant de l'analyse du comportement des mathématiciens, que d'une modélisation des mathématiques dans les topos. On y parle également du système de types de Martin-Löf et de ses rapports avec le théorème de Diaconescu. Le caractère partiellement constructif de l'axiome du choix est aussi discuté.

Fibrés localement triviaux, fibrés induits et invariance homotopique, grassmannienne et fibrés universels, application de Gauss, théorème de Leray-Hirsch, classe de Thom, classe d'Euler, suite de Gysin, algèbre de cohomologie de l'espace projectif, le fibré projectif associé, le principe de scindement, algèbre de cohomologie de la grassmannienne infinie, classes caractéristiques.

Dérivée d'une fonction définie sur un ouvert de Rⁿ. Exemples. Dérivation des fonctions composées. Matrice jacobienne. Dérivées partielles. Théorème de la moyenne. Convergence des dérivées d'une suite de fonctions. Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Taylor. Théorème de Schwarz. Extrémas des fonctions deux fois dérivables. Difféomorphismes et théorème d'inversion locale.

Définition, solutions, différentiabilité des solutions, systèmes différentiels, équations autonomes, équations d'ordre supérieur, conditions initiales et solutions non prolongeables, interprétation géométrique, démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz, exemples tirés de la physique, méthodes de résolution, comparaison des solutions, caractérisation des solutions maximales, équations linéaires, résolvante, variation des constantes.

Rappel sur les nombres réels, boules ouvertes, partie bornées, voisinages parties ouvertes, points adhérents, parties fermées, parties denses, suites, sous-suites, points d'accumulation, limite, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy, espaces complets, compacts, application continues, uniformément continues, lipschitziennes, théorème élémentaire de prolongement.

Définition des normes, des espaces et algèbres de Banach. Continuité des applications linéaires. Propriétés élémentaires des algèbres de Banach. L'application exponentielle. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point.

Définition des fonctions réglées et en escalier. Définition de leur intégrale sur un intervalle. Techniques de calcul. Majorations. Intégrales généralisées. Intégrales dépendant d'un paramètre. Exercices corrigés.

Ce recueil de 12 problèmes (1 par semaine) avec solutions a été élaboré lors d'un enseignement de L3 à Paris 7. Les sujets abordés sont les suivants: (1) application exponentielle complexe, (2) espace de Sierpinski et topologie des cofinis, (3) topologie X-adique et espaces ultramétriques, (4) revêtements, (5) calcul du diamètre de quelques espaces métriques dont des exemples de grassmanniennes, (6) limites supérieures et inférieures, semi-continuité, (7) théorème de Stone-Weierstrass, (8) théorème de Baire et application aux fonctions continues non dérivables, (9) dérivée de l'application exponentielle d'une algèbre de Banach non commutative, (10) équivalence entre champs de vecteurs et dérivations de l'algèbre des fonctions, (11) gradient et surface définie comme isopotentiel, applications de Gauss et de Weingarten, (12) formes de Pfaff et lemme de Poincaré.

Mémoire réalisé par trois de mes étudiants de Licence 1, dans lequel sont démontrées les transcendances de e et pi.